L’arpenteuse du moindre effort, l’énigme maths du « Monde » nᵒ 14

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Chaque année, lors de la crue du grand fleuve Lin, les terres des Ciboulettes se retrouvent inondées, et les agriculteurs qui cultivent les champs au bord de l’eau voient les limites de ces derniers effacées. Alors, chaque année, Ahma, arpenteuse en cheffe des Ciboulettes, parcourt les bords du Lin pour mesurer les terrains et vérifier que personne ne tente de rouler son voisin en déplaçant un peu trop loin les bornes marquant les frontières entre les propriétés. Quand elle mesure un champ, Ahma prend toutes les mesures nécessaires pour en déduire l’information dont elle a besoin, mais jamais plus. Les champs ciboulins ont tous la particularité de n’avoir que des côtés en ligne droite ne faisant entre eux que des angles droits.

Ce matin-là, quatre agriculteurs des bords du Lin ont demandé à Ahma de venir mesurer le périmètre de leurs champs respectifs. En rentrant dans son atelier, elle tend ses notes à son premier assistant et lui demande de faire le calcul. En y jetant un œil, ce dernier est d’abord convaincu qu’il lui manque des informations pour pouvoir répondre à la demande de sa patronne. Mais, à y regarder de plus près…

Pour chacun des champs A, B, C et D, pouvez-vous déterminer son périmètre ?

Pour voir le détail, cliquez sursélectionnez une ligne.
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Pour le champ A, les deux côtés horizontaux non mesurés par Ahma ont ensemble la même longueur que le grand côté de 30 mètres. Les côtés horizontaux ont donc une longueur totale de 60 mètres. De même, les côtés verticaux mesurent 40 mètres. Le périmètre total du champ A vaut donc 100 mètres.
Plus généralement, on peut dégager une règle : si l’on fait le tour d’un champ, la longueur des côtés horizontaux que l’on parcourt de gauche à droite est égale à la longueur des côtés que l’on parcourt de droite à gauche.
Pour le champ B, les côtés horizontaux mesurent 2 × 50 et les côtés verticaux, 2 × 30 + 2 × 18 mètres, ce qui donne un périmètre de 196 mètres.
Pour le champ C, les côtés horizontaux mesurent 2 × (50 + 25) et les verticaux, 2 × 40, ce qui donne un total de 230 mètres.
Pour le champ D, les côtés horizontaux mesurent 2 × (50 + 12) et les verticaux, 2 × (35 + 8), soit un périmètre de 210 mètres.

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