Cette année, Billy a décidé d’ouvrir son calendrier de l’Avent de façon originale. Le 1er décembre, il ouvre la case n°1, puis saute une case tous les jours. Le 2 décembre, il saute la case n° 2 et ouvre directement la case n° 3. Le 3 décembre, il saute la case n° 4 et ouvre la n° 5, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il arrive à la fin du calendrier, qui compte 24 cases. Il recommence alors au début en appliquant la même procédure avec les cases qu’il n’a pas encore ouvertes. D’abord il ouvre la case n° 2 qu’il avait sautée lors de son premier passage, puis, le lendemain, saute la case fermée suivante et ouvre celle d’après. Dès qu’il arrive à la fin, il reprend au début en appliquant encore et toujours cette même procédure avec les cases restantes.
Pouvez-vous déterminer le numéro de la dernière case qu’il ouvrira, le 24 décembre ?
Sa grande sœur Emy, qui a elle aussi son calendrier de l’Avent, a quant à elle choisi d’utiliser la même méthode en ouvrant seulement une case sur trois à chaque tour. Ainsi, dans les premiers jours de décembre, elle commence par ouvrir les cases numérotées 1, 4, 7, 10 et ainsi de suite. Dès qu’elle arrive au bout, elle recommence avec les cases restantes.
Quelle case sera ouverte par Emy le 24 décembre ?
En les observant, leur mère se demande s’il y a une logique à tout ça et se pose la question plus générale :
Est-il possible de calculer le numéro de la case finale sans avoir à reproduire tout le processus ? Par exemple, quelles auraient été les cases finales de ses deux enfants si, en appliquant leur méthode, les calendriers avaient eu 2024 cases au lieu de 24 ?
